伝えたいこと

Risk Ratio (RR) とOdds Ratio (OR) の関係に関して

• RR>1 のとき、イベント発生割合が大きくなるほど（i.e. イベントがcommonになるほど)、ORはRRより大きくなる。
• リスク比・オッズ比が大きくなるほど、リスク比・オッズ比の乖離は大きくなる。
• イベント発生割合が10%が一般的なthreshold。10%を超える場合は、オッズ比ではなくリスク比を使うことを考える。

→ なんでもかんでも、「2値アウトカムにロジスティック回帰」はダメなんじゃない…?（次回以降）

リスク比・オッズ比

コホート研究を通して、次の2×2表が得られたとします (横断研究でオッズ比vs有病率比を考える際も同じ議論です)。

リスク比とは、次の計算式で得られる値です。
イベントが発生した人の割合を、それぞれの群で計算し、比をとったものとなります。

\[\mathrm{RiskRatio}=\frac{p_1}{p_2}=\frac{\frac{a}{a+b}}{\frac{c}{c+d}}=\frac{a/N}{c/M}=\frac{aM}{cN}\] where

\[p_1 = \frac{a}{N},~p_2 = \frac{c}{M}\]

一方、オッズ比とは、次の計算式で得られる値です。 イベントのオッズの比ですね。

\[\mathrm{OddsRatio} = \frac{\frac{p_1}{1-p_1}}{\frac{p_2}{1-p_2}}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}\]

「稀な疾病」の仮定と、オッズ比≒リスク比の導出

ここで、イベントが稀な場合、オッズ比がリスク比に近似できるという導出を行います。
稀な疾病の仮定は、英語では”rare disease assumption”と言います。（そのままですが、知らないと検索しにくい）

イベントが稀な場合、2×2表においてa,cがb,dに対して十分小さい、と考えることができます。

「a,cがb,dに対して十分小さい」という仮定から、a/Nやc/Mが1に対して十分小さいと考えると、以下のような計算ができます。

\[ \mathrm{OddsRatio} = \frac{ad}{bc} = \frac{a(M-c)}{c(N-a)}=\frac{aM(1-\frac{c}{M})}{cN(1-\frac{a}{N})}\simeq \frac{aM}{cN}=\frac{\frac{a}{N}}{\frac{c}{M}}=\mathrm{RiskRatio} \]

リスク比とオッズ比との関係

まずはこの図を見てください (この図がとても重要です)。

この図は横軸にリスク比、縦軸にオッズ比を取っており、p_overallは集団におけるイベント発生割合を示します。
見方としては、グラフ中のグレーの直線 (y=xの直線) に対して近いほど、リスク比とオッズ比との乖離が小さいことを表します。

例えば、p_overall=0.5 (1番左側の線) はy=xから大きく乖離している一方、
p_overall=0.05 は y=x とほぼ同じで、リスク比とオッズ比がほぼ同じ (近似できる) ことを意味しています。
こう見ると、イベント発生割合が20%くらいから、リスク比とオッズ比の乖離が目立つことがよくわかりますね！

具体的な値を確認してみましょう。リスク比が1.5の場合、オッズ比は次の値を取ります。

もう1つ例を確認します。リスク比が2.0の場合のオッズ比は次のとおりです。

2つの表を見ると、リスク比が大きいほどリスク比とオッズ比との乖離が大きくなることもわかりました。

以上から、イベント発生割合が10%程度なら、通常のリスク比の範囲であればOR≒RRといって問題ないだろう、というように思います。
イベント発生割合が10%を超え20%, 30%となっているならば、リスク比とオッズ比の乖離具合を考えた方がよいのかなと思います。

データづくり

観察集団が曝露群1000人・非曝露群1000人、合計2000人いたとします。
また、集団全体のイベント発生割合p_overall（観察集団全体のリスク）は次の5通りで進めていきます。

1. 5%
2. 10%
3. 20%
4. 30%
5. 50%

2×2表は次のとおりです。

ここで、集団全体のイベント発生割合は次の式を満たします。

\[p_{overall} = \frac{a+c}{2000}\]

よって、以下の通り変形することができます。

\[c = 2000\cdot p_{overall}-a\]

したがって今回の2×2表の研究結果は、p_overallが与えられれば、aの関数として表現することができますね。

リスク比とオッズ比は次の通りです。
(リスク比とオッズ比がそれぞれaとp_overallの2つの文字で表現できていることを確認してください。p_overallは定数とするので、aの関数となります)

\[ \mathrm{RR} = \frac{a/1000}{c/1000} =\frac{a}{c} = \frac{a}{2000p_{overall} - a} \]

\[ \mathrm{OR} = \frac{a\times (1000-c)}{c\times (1000-a)}=\frac{a(1000+a-2000p_{overall})}{(1000-a)(2000p_{overall}-a)} \]

ただし、次を満たします。

• aは、1≤a≤999を満たす自然数
• RRは1以上 (RR<1は逆数を取ればよいため)
• ORは1以上

これをコードとして実装していきましょう。

pacman::p_load(tidyverse)

a <- c(1:999)
d0 <- data.frame(a)

d0 <- d0 %>% 
  # set overall risk
  mutate(p1 = 0.05) %>% 
  mutate(p2 = 0.1) %>% 
  mutate(p3 = 0.2) %>% 
  mutate(p4 = 0.3) %>% 
  mutate(p5 = 0.5)

df <- d0 %>% 
  pivot_longer(cols = p1:p5,
               names_to = "p_overall",
               values_to = "p") %>% 
  mutate(RR = a/(2000*p - a)) %>% 
  mutate(OR = a*(1000+a-2000*p)/((1000-a)*(2000*p-a)) ) %>% 
  
  mutate(p_overall = case_when(
    p_overall == "p1" ~ "5%",
    p_overall == "p2" ~ "10%",
    p_overall == "p3" ~ "20%",
    p_overall == "p4" ~ "30%",
    p_overall == "p5" ~ "50%"
  ),
  p_overall = factor(p_overall, levels = c("5%", "10%", "20%","30%", "50%")))

現在の段階では、リスク比やオッズ比が負の値や無限大（0割りの結果）となる場合も含まれるので、除外して整理します。
また、RRやORの範囲が現状だと広すぎるので、上限を5とします。

• 1 ≤ RR ≤ 5
• 1 ≤ OR ≤ 5

df <- df %>% 
  filter(RR >= 1 & OR >= 1 & RR <= 5 & OR <= 5)

リスク比 vs オッズ比のグラフ作り (ggplot2)

データづくりが完了したので、グラフ化しましょう。（大事なポイントです）

plot <- ggplot(data = df, aes(x = RR, y = OR, group = p_overall, colour = p_overall)) + 
  geom_line(size = 1) + 
  geom_abline(slope = 1, intercept = 0, alpha = 0.8, colour = "darkgray") + 
  geom_point(x = 1, y = 1, colour = "black") +
  scale_x_continuous(limits = c(1, 5)) +
  scale_y_continuous(limits = c(1, 5)) +
  xlab("Risk Ratio") + 
  ylab("Odds Ratio") + 
  ggtitle("Risk Ratio vs Odds Ratio") +
  
  annotate("text", x = 2.3, y = 5, label = "p[overall] == 0.5", size = 3, parse = TRUE) + 
  annotate("text", x = 3, y = 5, label = "p[overall] == 0.3", size = 3, parse = TRUE) + 
  annotate("text", x = 3.7, y = 5, label = "p[overall] == 0.2", size = 3, parse = TRUE) +
  annotate("text", x = 4.3, y = 5, label = "p[overall] == 0.1", size = 3, parse = TRUE) + 
  annotate("text", x = 4.8, y = 5, label = "p[overall] == 0.05", size = 3, parse = TRUE) + 
  
  annotate("text", x = 1.3, y = 1, label = "RR = OR = 1", size = 3) + 

  theme_bw()

plot

# ggsave(file = "output/RiskRatio_vs_OddsRatio.png", plot = plot, dpi = 300, width = 7.5, height = 5)

具体的な値を確認するコードは次のとおりです。

FYI: 与えられた値に対して最も近い値を返す -> 差分の絶対値が最小のものをgroup_byして取ればよい

df %>% 
  filter(round(RR, digits = 2) == 1.5) %>% 
  group_by(p_overall) %>% 
  filter(abs(RR-2) == min(abs(RR-2)))

## # A tibble: 5 × 5
## # Groups:   p_overall [5]
##       a p_overall     p    RR    OR
##   <int> <fct>     <dbl> <dbl> <dbl>
## 1    60 5%         0.05   1.5  1.53
## 2   120 10%        0.1    1.5  1.57
## 3   240 20%        0.2    1.5  1.66
## 4   360 30%        0.3    1.5  1.78
## 5   600 50%        0.5    1.5  2.25

df %>% 
  filter(round(RR, digits = 1) == 2) %>% 
  group_by(p_overall) %>% 
  filter(abs(RR-2) == min(abs(RR-2)))

## # A tibble: 5 × 5
## # Groups:   p_overall [5]
##       a p_overall     p    RR    OR
##   <int> <fct>     <dbl> <dbl> <dbl>
## 1    67 5%         0.05  2.03  2.10
## 2   133 10%        0.1   1.99  2.14
## 3   267 20%        0.2   2.01  2.37
## 4   400 30%        0.3   2     2.67
## 5   667 50%        0.5   2.00  4.01

further learning

• Schmidt, C. O., & Kohlmann, T. (2008). When to use the odds ratio or the relative risk?. International journal of public health, 53(3), 165.
  僕が今回描いたグラフがそのまま載っています。ちゃんと勉強したい人はおすすめ。
• Fuyama, K., Hagiwara, Y. & Matsuyama, Y. A simulation study of regression approaches for estimating risk ratios in the presence of multiple confounders. Emerg Themes Epidemiol 18, 18 (2021).
  学部同期の論文 (ほんとすげえ) 。勉強したあとに読むと、非常に面白かったです。

最後まで読んでくださった方、本当におつかれさまでした。